Zgjidh 12x^2+36x+27=0

$$12 { x }^{ 2 } +36x+27=0$$

Gjej x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 4x^{2}+ax+bx+9. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 12.

$$a=6 b=6$$

Rishkruaj 4x^{2}+12x+9 si \left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x+3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

Për të gjetur zgjidhjen e ekuacionit, zgjidh 2x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 12, b me 36 dhe c me 27 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Ngri në fuqi të dytë 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Shumëzo -4 herë 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\times 27}}{2\times 12}$$

Shumëzo -48 herë 27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 12}$$

Mblidh 1296 me -1296.

$$x=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$x=-\frac{36}{2\times 12}$$

Shumëzo 2 herë 12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Thjeshto thyesën \frac{-36}{24} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 12.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Zbrit 27 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$12x^{2}+36x+27-27=-27$$

Zbritja e 27 nga vetja e tij jep 0.

$$12x^{2}+36x=-27$$

Pjesëto të dyja anët me 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=-\frac{27}{12}$$

Pjesëtimi me 12 zhbën shumëzimin me 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=-\frac{27}{12}$$

Pjesëto 36 me 12.

$$x^{2}+3x=-\frac{27}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{-27}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

Pjesëto 3, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{3}{2}. Më pas mblidh katrorin e \frac{3}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{3}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Mblidh -\frac{9}{4} me \frac{9}{4} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

Faktori x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

Zbrit \frac{3}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani. Zgjidhjet janë njëlloj.

$$x=-\frac{3}{2}$$