Zgjidh 10n^2+53n+36

$$10 n ^ { 2 } + 53 n + 36$$

Faktorizo

$$\left(2n+9\right)\left(5n+4\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 10n^{2}+an+bn+36. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=53 ab=10\times 36=360$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 360.

$$1,360 2,180 3,120 4,90 5,72 6,60 8,45 9,40 10,36 12,30 15,24 18,20$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+360=361 2+180=182 3+120=123 4+90=94 5+72=77 6+60=66 8+45=53 9+40=49 10+36=46 12+30=42 15+24=39 18+20=38$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 53.

$$a=8 b=45$$

Rishkruaj 10n^{2}+53n+36 si \left(10n^{2}+8n\right)+\left(45n+36\right).

$$\left(10n^{2}+8n\right)+\left(45n+36\right)$$

Faktorizo 2n në grupin e parë dhe 9 në të dytin.

$$2n\left(5n+4\right)+9\left(5n+4\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 5n+4 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$10n^{2}+53n+36=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$n=\frac{-53±\sqrt{53^{2}-4\times 10\times 36}}{2\times 10}$$

Ngri në fuqi të dytë 53.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-4\times 10\times 36}}{2\times 10}$$

Shumëzo -4 herë 10.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-40\times 36}}{2\times 10}$$

Shumëzo -40 herë 36.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-1440}}{2\times 10}$$

Mblidh 2809 me -1440.

$$n=\frac{-53±\sqrt{1369}}{2\times 10}$$

Gjej rrënjën katrore të 1369.

$$n=\frac{-53±37}{2\times 10}$$

Shumëzo 2 herë 10.

$$n=\frac{-53±37}{20}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{-53±37}{20} kur ± është plus. Mblidh -53 me 37.

$$n=-\frac{16}{20}$$

Thjeshto thyesën \frac{-16}{20} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$n=-\frac{4}{5}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{-53±37}{20} kur ± është minus. Zbrit 37 nga -53.

$$n=-\frac{90}{20}$$

Thjeshto thyesën \frac{-90}{20} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 10.

$$n=-\frac{9}{2}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -\frac{4}{5} për x_{1} dhe -\frac{9}{2} për x_{2}.

$$10n^{2}+53n+36=10\left(n-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$10n^{2}+53n+36=10\left(n+\frac{4}{5}\right)\left(n+\frac{9}{2}\right)$$

Mblidh \frac{4}{5} me n duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{5n+4}{5}\left(n+\frac{9}{2}\right)$$

Mblidh \frac{9}{2} me n duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{5n+4}{5}\times \frac{2n+9}{2}$$

Shumëzo \frac{5n+4}{5} herë \frac{2n+9}{2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)}{5\times 2}$$

Shumëzo 5 herë 2.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)}{10}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 10 në 10 dhe 10.

$$10n^{2}+53n+36=\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)$$

Vlerëso

$$\left(2n+9\right)\left(5n+4\right)$$