Zgjidh (2x-3)(x+1)-(x-2)<0

$$(2x-3)(x+1)-(x-2) < 0$$

Gjej x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2x-3 me x+1 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$2x^{2}-x-3-\left(x-2\right)<0$$

Për të gjetur të kundërtën e x-2, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$2x^{2}-x-3-x+2<0$$

Kombino -x dhe -x për të marrë -2x.

$$2x^{2}-2x-3+2<0$$

Shto -3 dhe 2 për të marrë -1.

$$2x^{2}-2x-1<0$$

Për të zgjidhur mosbarazimin, faktorizo anën e majtë. Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 2 për a, -2 për b dhe -1 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Bëj llogaritjet.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Zgjidh ekuacionin x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} kur ± është plus dhe kur ± është minus.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Rishkruaj mosbarazimin duke përdorur zgjidhjet e përfituara.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

Që prodhimi të jetë negativ, x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} dhe x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} duhet të jenë me shenja të kundërta. Merr parasysh rastin kur x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} është pozitiv dhe x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} është negativ.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Kjo është e rreme për çdo x.

$$x\in \emptyset$$

Merr parasysh rastin kur x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} është pozitiv dhe x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} është negativ.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

Zgjidhja që plotëson të dy mosbarazimet është x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Zgjidhja përfundimtare është bashkimi i zgjidhjeve të arritura.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$