Zgjidh (2x+3)^2=25

$$( 2 x + 3 ) ^ { 2 } = 25$$

Gjej x

$$x=1$$

$$x=-4$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9=25$$

Zbrit 25 nga të dyja anët.

$$4x^{2}+12x+9-25=0$$

Zbrit 25 nga 9 për të marrë -16.

$$4x^{2}+12x-16=0$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x^{2}+3x-4=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si x^{2}+ax+bx-4. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -4.

$$-1,4 -2,2$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 3.

$$a=-1 b=4$$

Rishkruaj x^{2}+3x-4 si \left(x^{2}-x\right)+\left(4x-4\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(4x-4\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe 4 në të dytin.

$$x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-1=0 dhe x+4=0.

$$x=1 x=-4$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9=25$$

Zbrit 25 nga të dyja anët.

$$4x^{2}+12x+9-25=0$$

Zbrit 25 nga 9 për të marrë -16.

$$4x^{2}+12x-16=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me 12 dhe c me -16 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë -16.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+256}}{2\times 4}$$

Mblidh 144 me 256.

$$x=\frac{-12±\sqrt{400}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 400.

$$x=\frac{-12±20}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$x=\frac{-12±20}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-12±20}{8} kur ± është plus. Mblidh -12 me 20.

$$x=\frac{8}{8}$$

Pjesëto 8 me 8.

$$x=1$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-12±20}{8} kur ± është minus. Zbrit 20 nga -12.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Pjesëto -32 me 8.

$$x=-4$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=1 x=-4$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9=25$$

Zbrit 9 nga të dyja anët.

$$4x^{2}+12x=25-9$$

Zbrit 9 nga 25 për të marrë 16.

$$4x^{2}+12x=16$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=\frac{16}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=\frac{16}{4}$$

Pjesëto 12 me 4.

$$x^{2}+3x=\frac{16}{4}$$

Pjesëto 16 me 4.

$$x^{2}+3x=4$$

Pjesëto 3, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{3}{2}. Më pas mblidh katrorin e \frac{3}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{3}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Mblidh 4 me \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktori x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Zbrit \frac{3}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=1 x=-4$$