Zgjidh (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

Gjej x

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Zbrit x^{2} nga të dyja anët.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Kombino 4x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Shto 10x në të dyja anët.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Kombino 4x dhe 10x për të marrë 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Zbrit 25 nga të dyja anët.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Zbrit 25 nga 1 për të marrë -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx-24. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 14.

$$a=-4 b=18$$

Rishkruaj 3x^{2}+14x-24 si \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe 6 në të dytin.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x-4 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3x-4=0 dhe x+6=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Zbrit x^{2} nga të dyja anët.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Kombino 4x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Shto 10x në të dyja anët.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Kombino 4x dhe 10x për të marrë 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Zbrit 25 nga të dyja anët.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Zbrit 25 nga 1 për të marrë -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me 14 dhe c me -24 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

Mblidh 196 me 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-14±22}{6} kur ± është plus. Mblidh -14 me 22.

$$x=\frac{8}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{8}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-14±22}{6} kur ± është minus. Zbrit 22 nga -14.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Pjesëto -36 me 6.

$$x=-6$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Zbrit x^{2} nga të dyja anët.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Kombino 4x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Shto 10x në të dyja anët.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Kombino 4x dhe 10x për të marrë 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Zbrit 1 nga të dyja anët.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

Zbrit 1 nga 25 për të marrë 24.

$$3x^{2}+14x=24$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

Pjesëto 24 me 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

Pjesëto \frac{14}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{7}{3}. Më pas mblidh katrorin e \frac{7}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{7}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

Mblidh 8 me \frac{49}{9}.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

Faktori x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

Zbrit \frac{7}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$