Zgjidh x^4-4x^2+3

$${ x }^{ 4 } -4 { x }^{ 2 } +3$$

Faktorizo

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Për të faktorizuar shprehjen, zgjidh ekuacionin ku është i barabartë me 0.

$$x^{4}-4x^{2}+3=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante 3 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 1. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=1$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto x^{4}-4x^{2}+3 me x-1 për të marrë x^{3}+x^{2}-3x-3. Për të faktorizuar rezultatin, zgjidh ekuacionin ku është i barabartë me 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x-3=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante -3 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 1. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=-1$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto x^{3}+x^{2}-3x-3 me x+1 për të marrë x^{2}-3. Për të faktorizuar rezultatin, zgjidh ekuacionin ku është i barabartë me 0.

$$x^{2}-3=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 1 për a, 0 për b dhe -3 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Bëj llogaritjet.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{2}$$

Zgjidh ekuacionin x^{2}-3=0 kur ± është plus dhe kur ± është minus.

$$x=-\sqrt{3} x=\sqrt{3}$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar duke përdorur rrënjët e përfituara. Polinomi x^{2}-3 nuk është faktorizuar pasi nuk ka asnjë rrënjë racionale.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Vlerëso

$$x^{4}-4x^{2}+3$$