Zgjidh sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Gjej x

$$x=5$$

$$x=1$$

Hapat e zgjidhjes

Zbrit -\sqrt{2x-1} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{3x+1} në fuqi të 2 dhe merr 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{2x-1} në fuqi të 2 dhe merr 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Zbrit 1 nga 1 për të marrë 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Zbrit 2x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Kombino 3x dhe -2x për të marrë x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Zhvillo \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Llogarit 2 në fuqi të 2 dhe merr 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{2x-1} në fuqi të 2 dhe merr 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Kombino 2x dhe -8x për të marrë -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Shto 1 dhe 4 për të marrë 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo x^{2}-6x+5 me anë të formulës x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-6 ab=5$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Vetëm një çift i tillë është zgjidhja e sistemit.

$$a=-5 b=-1$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(x+a\right)\left(x+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-5=0 dhe x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Zëvendëso 5 me x në ekuacionin \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Thjeshto. Vlera x=5 vërteton ekuacionin.

$$1=1$$

Zëvendëso 1 me x në ekuacionin \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Thjeshto. Vlera x=1 vërteton ekuacionin.

$$1=1$$

Listo të gjitha zgjidhjet e \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$