Zgjidh sqrt{2x-9}=5-sqrt{x-3}

$$\sqrt { 2 x - 9 } = 5 - \sqrt { x - 3 }$$

Gjej x

$$x=81-10\sqrt{53}\approx 8.198901107$$

Hapat e zgjidhjes

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{2x-9}\right)^{2}=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{2x-9} në fuqi të 2 dhe merr 2x-9.

$$2x-9=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x-3} në fuqi të 2 dhe merr x-3.

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+x-3$$

Zbrit 3 nga 25 për të marrë 22.

$$2x-9=22-10\sqrt{x-3}+x$$

Zbrit 22+x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x-9-\left(22+x\right)=-10\sqrt{x-3}$$

Për të gjetur të kundërtën e 22+x, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$2x-9-22-x=-10\sqrt{x-3}$$

Zbrit 22 nga -9 për të marrë -31.

$$2x-31-x=-10\sqrt{x-3}$$

Kombino 2x dhe -x për të marrë x.

$$x-31=-10\sqrt{x-3}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(x-31\right)^{2}=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x-31\right)^{2}.

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Zhvillo \left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\right)^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Llogarit -10 në fuqi të 2 dhe merr 100.

$$x^{2}-62x+961=100\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x-3} në fuqi të 2 dhe merr x-3.

$$x^{2}-62x+961=100\left(x-3\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 100 me x-3.

$$x^{2}-62x+961=100x-300$$

Zbrit 100x nga të dyja anët.

$$x^{2}-62x+961-100x=-300$$

Kombino -62x dhe -100x për të marrë -162x.

$$x^{2}-162x+961=-300$$

Shto 300 në të dyja anët.

$$x^{2}-162x+961+300=0$$

Shto 961 dhe 300 për të marrë 1261.

$$x^{2}-162x+1261=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -162 dhe c me 1261 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{\left(-162\right)^{2}-4\times 1261}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -162.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-4\times 1261}}{2}$$

Shumëzo -4 herë 1261.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-5044}}{2}$$

Mblidh 26244 me -5044.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{21200}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 21200.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±20\sqrt{53}}{2}$$

E kundërta e -162 është 162.

$$x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2} kur ± është plus. Mblidh 162 me 20\sqrt{53}.

$$x=\frac{20\sqrt{53}+162}{2}$$

Pjesëto 162+20\sqrt{53} me 2.

$$x=10\sqrt{53}+81$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2} kur ± është minus. Zbrit 20\sqrt{53} nga 162.

$$x=\frac{162-20\sqrt{53}}{2}$$

Pjesëto 162-20\sqrt{53} me 2.

$$x=81-10\sqrt{53}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=10\sqrt{53}+81 x=81-10\sqrt{53}$$

Zëvendëso 10\sqrt{53}+81 me x në ekuacionin \sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3}.

$$\sqrt{2\left(10\sqrt{53}+81\right)-9}=5-\sqrt{10\sqrt{53}+81-3}$$

Thjeshto. Vlera x=10\sqrt{53}+81 nuk e vërteton ekuacionin sepse ana e majtë dhe e djathtë kanë shenja të kundërta.

$$10+53^{\frac{1}{2}}=-53^{\frac{1}{2}}$$

Zëvendëso 81-10\sqrt{53} me x në ekuacionin \sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3}.

$$\sqrt{2\left(81-10\sqrt{53}\right)-9}=5-\sqrt{81-10\sqrt{53}-3}$$

Thjeshto. Vlera x=81-10\sqrt{53} vërteton ekuacionin.

$$10-53^{\frac{1}{2}}=10-53^{\frac{1}{2}}$$

Ekuacioni \sqrt{2x-9}=-\sqrt{x-3}+5 ka një zgjidhje unike.

$$x=81-10\sqrt{53}$$