Zgjidh sqrt{2x+2}-sqrt{x+8}=1

$$\sqrt { 2 x + 2 } - \sqrt { x + 8 } = 1$$

Gjej x

$$x=17$$

Hapat e zgjidhjes

Zbrit -\sqrt{x+8} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\sqrt{2x+2}=1+\sqrt{x+8}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{2x+2}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{2x+2} në fuqi të 2 dhe merr 2x+2.

$$2x+2=\left(1+\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(1+\sqrt{x+8}\right)^{2}.

$$2x+2=1+2\sqrt{x+8}+\left(\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x+8} në fuqi të 2 dhe merr x+8.

$$2x+2=1+2\sqrt{x+8}+x+8$$

Shto 1 dhe 8 për të marrë 9.

$$2x+2=9+2\sqrt{x+8}+x$$

Zbrit 9+x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x+2-\left(9+x\right)=2\sqrt{x+8}$$

Për të gjetur të kundërtën e 9+x, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$2x+2-9-x=2\sqrt{x+8}$$

Zbrit 9 nga 2 për të marrë -7.

$$2x-7-x=2\sqrt{x+8}$$

Kombino 2x dhe -x për të marrë x.

$$x-7=2\sqrt{x+8}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(x-7\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49=\left(2\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Zhvillo \left(2\sqrt{x+8}\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49=2^{2}\left(\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Llogarit 2 në fuqi të 2 dhe merr 4.

$$x^{2}-14x+49=4\left(\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x+8} në fuqi të 2 dhe merr x+8.

$$x^{2}-14x+49=4\left(x+8\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+8.

$$x^{2}-14x+49=4x+32$$

Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$x^{2}-14x+49-4x=32$$

Kombino -14x dhe -4x për të marrë -18x.

$$x^{2}-18x+49=32$$

Zbrit 32 nga të dyja anët.

$$x^{2}-18x+49-32=0$$

Zbrit 32 nga 49 për të marrë 17.

$$x^{2}-18x+17=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo x^{2}-18x+17 me anë të formulës x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-18 ab=17$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Vetëm një çift i tillë është zgjidhja e sistemit.

$$a=-17 b=-1$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(x+a\right)\left(x+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(x-17\right)\left(x-1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-17=0 dhe x-1=0.

$$x=17 x=1$$

Zëvendëso 17 me x në ekuacionin \sqrt{2x+2}-\sqrt{x+8}=1.

$$\sqrt{2\times 17+2}-\sqrt{17+8}=1$$

Thjeshto. Vlera x=17 vërteton ekuacionin.

$$1=1$$

Zëvendëso 1 me x në ekuacionin \sqrt{2x+2}-\sqrt{x+8}=1.

$$\sqrt{2\times 1+2}-\sqrt{1+8}=1$$

Thjeshto. Vlera x=1 nuk e vërteton ekuacionin sepse ana e majtë dhe e djathtë kanë shenja të kundërta.

$$-1=1$$

Zëvendëso 17 me x në ekuacionin \sqrt{2x+2}-\sqrt{x+8}=1.

$$\sqrt{2\times 17+2}-\sqrt{17+8}=1$$

Thjeshto. Vlera x=17 vërteton ekuacionin.

$$1=1$$

Ekuacioni \sqrt{2x+2}=\sqrt{x+8}+1 ka një zgjidhje unike.

$$x=17$$