Zgjidh {c}{-2(x+y)=12}{5(x+1)-4(y+3)=17}

$$\left.\begin{array} { c } { - 2 ( x + y ) = 12 } \\ { 5 ( x + 1 ) - 4 ( y + 3 ) = 17 } \end{array} \right\}$$

Gjej x, y

$$x=0$$

$$y=-6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

Pjesëto 12 me -2 për të marrë -6.

$$x+y=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -4 me y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

Zbrit 12 nga 5 për të marrë -7.

$$5x-7-4y=17$$

Shto 7 në të dyja anët.

$$5x-4y=17+7$$

Shto 17 dhe 7 për të marrë 24.

$$5x-4y=24$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=-6$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y-6$$

Zëvendëso x me -y-6 në ekuacionin tjetër, 5x-4y=24.

$$5\left(-y-6\right)-4y=24$$

Shumëzo 5 herë -y-6.

$$-5y-30-4y=24$$

Mblidh -5y me -4y.

$$-9y-30=24$$

Mblidh 30 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-9y=54$$

Pjesëto të dyja anët me -9.

$$y=-6$$

Zëvendëso y me -6 në x=-y-6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\left(-6\right)-6$$

Shumëzo -1 herë -6.

$$x=6-6$$

Mblidh -6 me 6.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=-6$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

Pjesëto 12 me -2 për të marrë -6.

$$x+y=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -4 me y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

Zbrit 12 nga 5 për të marrë -7.

$$5x-7-4y=17$$

Shto 7 në të dyja anët.

$$5x-4y=17+7$$

Shto 17 dhe 7 për të marrë 24.

$$5x-4y=24$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-5}&-\frac{1}{-4-5}\\-\frac{5}{-4-5}&\frac{1}{-4-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{9}\times 24\\\frac{5}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-6\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=0,y=-6$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

Pjesëto 12 me -2 për të marrë -6.

$$x+y=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -4 me y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

Zbrit 12 nga 5 për të marrë -7.

$$5x-7-4y=17$$

Shto 7 në të dyja anët.

$$5x-4y=17+7$$

Shto 17 dhe 7 për të marrë 24.

$$5x-4y=24$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

Për ta bërë x të barabartë me 5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$5x+5y=5\left(-6\right),5x-4y=24$$

Thjeshto.

$$5x+5y=-30,5x-4y=24$$

Zbrit 5x-4y=24 nga 5x+5y=-30 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$5x-5x+5y+4y=-30-24$$

Mblidh 5x me -5x. Shprehjet 5x dhe -5x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$5y+4y=-30-24$$

Mblidh 5y me 4y.

$$9y=-30-24$$

Mblidh -30 me -24.

$$9y=-54$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$y=-6$$

Zëvendëso y me -6 në 5x-4y=24. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$5x-4\left(-6\right)=24$$

Shumëzo -4 herë -6.

$$5x+24=24$$

Zbrit 24 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=0$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=-6$$