Zgjidh {l}{x=-4y-5}{2x+10y=8}

$$\left. \begin{array}{l}{ x = - 4 y - 5 }\\{ 2 x + 10 y = 8 }\end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-41$$

$$y=9$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4y në të dyja anët.

$$x+4y=-5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+4y=-5,2x+10y=8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+4y=-5$$

Zbrit 4y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-4y-5$$

Zëvendëso x me -4y-5 në ekuacionin tjetër, 2x+10y=8.

$$2\left(-4y-5\right)+10y=8$$

Shumëzo 2 herë -4y-5.

$$-8y-10+10y=8$$

Mblidh -8y me 10y.

$$2y-10=8$$

Mblidh 10 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=18$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=9$$

Zëvendëso y me 9 në x=-4y-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-4\times 9-5$$

Shumëzo -4 herë 9.

$$x=-36-5$$

Mblidh -5 me -36.

$$x=-41$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-41,y=9$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4y në të dyja anët.

$$x+4y=-5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+4y=-5,2x+10y=8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-4\times 2}&-\frac{4}{10-4\times 2}\\-\frac{2}{10-4\times 2}&\frac{1}{10-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-2\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\left(-5\right)-2\times 8\\-\left(-5\right)+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-41\\9\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-41,y=9$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4y në të dyja anët.

$$x+4y=-5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+4y=-5,2x+10y=8$$

Për ta bërë x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$2x+2\times 4y=2\left(-5\right),2x+10y=8$$

Thjeshto.

$$2x+8y=-10,2x+10y=8$$

Zbrit 2x+10y=8 nga 2x+8y=-10 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-2x+8y-10y=-10-8$$

Mblidh 2x me -2x. Shprehjet 2x dhe -2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$8y-10y=-10-8$$

Mblidh 8y me -10y.

$$-2y=-10-8$$

Mblidh -10 me -8.

$$-2y=-18$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=9$$

Zëvendëso y me 9 në 2x+10y=8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x+10\times 9=8$$

Shumëzo 10 herë 9.

$$2x+90=8$$

Zbrit 90 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-82$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=-41$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-41,y=9$$