Zgjidh {l}{-5x+4y=3}{x=2y-15}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + 4 y = 3 }\\{ x = 2 y - 15 }\end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=9$$

$$y=12$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2y=-15$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-5x+4y=3$$

Zbrit 4y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-5x=-4y+3$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-4y+3\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{5} herë -4y+3.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{4y-3}{5} në ekuacionin tjetër, x-2y=-15.

$$\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}-2y=-15$$

Mblidh \frac{4y}{5} me -2y.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}=-15$$

Mblidh \frac{3}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{6}{5}y=-\frac{72}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{6}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=12$$

Zëvendëso y me 12 në x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{4}{5}\times 12-\frac{3}{5}$$

Shumëzo \frac{4}{5} herë 12.

$$x=\frac{48-3}{5}$$

Mblidh -\frac{3}{5} me \frac{48}{5} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=9$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=9,y=12$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2y=-15$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{-5\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\left(-15\right)\\-\frac{1}{6}\times 3-\frac{5}{6}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=9,y=12$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2y=-15$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Për ta bërë -5x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -5.

$$-5x+4y=3,-5x-5\left(-2\right)y=-5\left(-15\right)$$

Thjeshto.

$$-5x+4y=3,-5x+10y=75$$

Zbrit -5x+10y=75 nga -5x+4y=3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-5x+5x+4y-10y=3-75$$

Mblidh -5x me 5x. Shprehjet -5x dhe 5x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$4y-10y=3-75$$

Mblidh 4y me -10y.

$$-6y=3-75$$

Mblidh 3 me -75.

$$-6y=-72$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$y=12$$

Zëvendëso y me 12 në x-2y=-15. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-2\times 12=-15$$

Shumëzo -2 herë 12.

$$x-24=-15$$

Mblidh 24 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=9$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=9,y=12$$