Zgjidh {l}{y=6x}{x+y+y=315.9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Kombino y dhe y për të marrë 2y.

$$x+2y=315.9$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-6x=0$$

Mblidh 6x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=6x$$

Zëvendëso y me 6x në ekuacionin tjetër, 2y+x=315.9.

$$2\times 6x+x=315.9$$

Shumëzo 2 herë 6x.

$$12x+x=315.9$$

Mblidh 12x me x.

$$13x=315.9$$

Pjesëto të dyja anët me 13.

$$x=24.3$$

Zëvendëso x me 24.3 në y=6x. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=6\times 24.3$$

Shumëzo 6 herë 24.3.

$$y=145.8$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=145.8,x=24.3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Kombino y dhe y për të marrë 2y.

$$x+2y=315.9$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Kombino y dhe y për të marrë 2y.

$$x+2y=315.9$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Për ta bërë y të barabartë me 2y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

Thjeshto.

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

Zbrit 2y+x=315.9 nga 2y-12x=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

Mblidh 2y me -2y. Shprehjet 2y dhe -2y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-12x-x=-315.9$$

Mblidh -12x me -x.

$$-13x=-315.9$$

Pjesëto të dyja anët me -13.

$$x=\frac{243}{10}$$

Zëvendëso x me \frac{243}{10} në 2y+x=315.9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

Zbrit \frac{243}{10} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=\frac{1458}{5}$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=\frac{729}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$