Zgjidh {l}{y=5x-4}{y=3x-8}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 x - 4 } \\ { y = 3 x - 8 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-2$$

$$y=-14$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=-4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-5x=-4,y-3x=-8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-5x=-4$$

Mblidh 5x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=5x-4$$

Zëvendëso y me 5x-4 në ekuacionin tjetër, y-3x=-8.

$$5x-4-3x=-8$$

Mblidh 5x me -3x.

$$2x-4=-8$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-4$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=-2$$

Zëvendëso x me -2 në y=5x-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=5\left(-2\right)-4$$

Shumëzo 5 herë -2.

$$y=-10-4$$

Mblidh -4 me -10.

$$y=-14$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-14,x=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=-4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-5x=-4,y-3x=-8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-5\right)}&\frac{1}{-3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-4\right)+\frac{5}{2}\left(-8\right)\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-14,x=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=-4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-5x=-4,y-3x=-8$$

Zbrit y-3x=-8 nga y-5x=-4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-5x+3x=-4+8$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-5x+3x=-4+8$$

Mblidh -5x me 3x.

$$-2x=-4+8$$

Mblidh -4 me 8.

$$-2x=4$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-2$$

Zëvendëso x me -2 në y-3x=-8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-3\left(-2\right)=-8$$

Shumëzo -3 herë -2.

$$y+6=-8$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-14$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-14,x=-2$$