Zgjidh {l}{y=4x-5}{y=2x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 5 } \\ { y = 2 x + 3 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=4$$

$$y=11$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-4x=-5,y-2x=3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-4x=-5$$

Mblidh 4x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=4x-5$$

Zëvendëso y me 4x-5 në ekuacionin tjetër, y-2x=3.

$$4x-5-2x=3$$

Mblidh 4x me -2x.

$$2x-5=3$$

Mblidh 5 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=8$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=4$$

Zëvendëso x me 4 në y=4x-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=4\times 4-5$$

Shumëzo 4 herë 4.

$$y=16-5$$

Mblidh -5 me 16.

$$y=11$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=11,x=4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-4x=-5,y-2x=3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-4\right)}&\frac{1}{-2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-5\right)+2\times 3\\-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=11,x=4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-4x=-5,y-2x=3$$

Zbrit y-2x=3 nga y-4x=-5 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-4x+2x=-5-3$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-4x+2x=-5-3$$

Mblidh -4x me 2x.

$$-2x=-5-3$$

Mblidh -5 me -3.

$$-2x=-8$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=4$$

Zëvendëso x me 4 në y-2x=3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-2\times 4=3$$

Shumëzo -2 herë 4.

$$y-8=3$$

Mblidh 8 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=11$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=11,x=4$$