Zgjidh {l}{y=3x-4}{y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x - 4 } \\ { y = x + 1 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-3x=-4,y-x=1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-3x=-4$$

Mblidh 3x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=3x-4$$

Zëvendëso y me 3x-4 në ekuacionin tjetër, y-x=1.

$$3x-4-x=1$$

Mblidh 3x me -x.

$$2x-4=1$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=5$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{5}{2} në y=3x-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=3\times \frac{5}{2}-4$$

Shumëzo 3 herë \frac{5}{2}.

$$y=\frac{15}{2}-4$$

Mblidh -4 me \frac{15}{2}.

$$y=\frac{7}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{7}{2},x=\frac{5}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-3x=-4,y-x=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=\frac{7}{2},x=\frac{5}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-3x=-4,y-x=1$$

Zbrit y-x=1 nga y-3x=-4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-3x+x=-4-1$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-3x+x=-4-1$$

Mblidh -3x me x.

$$-2x=-4-1$$

Mblidh -4 me -1.

$$-2x=-5$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{5}{2} në y-x=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-\frac{5}{2}=1$$

Mblidh \frac{5}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=\frac{7}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{7}{2},x=\frac{5}{2}$$