Zgjidh {l}{y=2x+3}{y=6x+15}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 3 } \\ { y = 6 x + 15 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-3$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=15$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-2x=3,y-6x=15$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-2x=3$$

Mblidh 2x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2x+3$$

Zëvendëso y me 2x+3 në ekuacionin tjetër, y-6x=15.

$$2x+3-6x=15$$

Mblidh 2x me -6x.

$$-4x+3=15$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-4x=12$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$x=-3$$

Zëvendëso x me -3 në y=2x+3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=2\left(-3\right)+3$$

Shumëzo 2 herë -3.

$$y=-6+3$$

Mblidh 3 me -6.

$$y=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-3,x=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=15$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-2x=3,y-6x=15$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-6-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-6-\left(-2\right)}&\frac{1}{-6-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}\times 15\\\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\times 15\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-3,x=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=15$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-2x=3,y-6x=15$$

Zbrit y-6x=15 nga y-2x=3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-2x+6x=3-15$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2x+6x=3-15$$

Mblidh -2x me 6x.

$$4x=3-15$$

Mblidh 3 me -15.

$$4x=-12$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=-3$$

Zëvendëso x me -3 në y-6x=15. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-6\left(-3\right)=15$$

Shumëzo -6 herë -3.

$$y+18=15$$

Zbrit 18 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-3,x=-3$$