Zgjidh {l}{y=-2x+13}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 13 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=7$$

$$y=-1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=13$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+2x=13$$

Zbrit 2x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-2x+13$$

Zëvendëso y me -2x+13 në ekuacionin tjetër, 8y+4x=20.

$$8\left(-2x+13\right)+4x=20$$

Shumëzo 8 herë -2x+13.

$$-16x+104+4x=20$$

Mblidh -16x me 4x.

$$-12x+104=20$$

Zbrit 104 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-12x=-84$$

Pjesëto të dyja anët me -12.

$$x=7$$

Zëvendëso x me 7 në y=-2x+13. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-2\times 7+13$$

Shumëzo -2 herë 7.

$$y=-14+13$$

Mblidh 13 me -14.

$$y=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-1,x=7$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=13$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 8}&-\frac{2}{4-2\times 8}\\-\frac{8}{4-2\times 8}&\frac{1}{4-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 13+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{3}\times 13-\frac{1}{12}\times 20\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-1,x=7$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=13$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

Për ta bërë y të barabartë me 8y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 8 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$8y+8\times 2x=8\times 13,8y+4x=20$$

Thjeshto.

$$8y+16x=104,8y+4x=20$$

Zbrit 8y+4x=20 nga 8y+16x=104 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$8y-8y+16x-4x=104-20$$

Mblidh 8y me -8y. Shprehjet 8y dhe -8y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$16x-4x=104-20$$

Mblidh 16x me -4x.

$$12x=104-20$$

Mblidh 104 me -20.

$$12x=84$$

Pjesëto të dyja anët me 12.

$$x=7$$

Zëvendëso x me 7 në 8y+4x=20. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$8y+4\times 7=20$$

Shumëzo 4 herë 7.

$$8y+28=20$$

Zbrit 28 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$8y=-8$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$y=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-1,x=7$$