Zgjidh {l}{y=x/3-3}{4x+y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 3 } - 3 } \\ { 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=0$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{x}{3} nga të dyja anët.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$3y-x=-9$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3y-x=-9$$

Mblidh x në të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=x-9$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(x-9\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë x-9.

$$y=\frac{1}{3}x-3$$

Zëvendëso y me \frac{x}{3}-3 në ekuacionin tjetër, y+4x=-3.

$$\frac{1}{3}x-3+4x=-3$$

Mblidh \frac{x}{3} me 4x.

$$\frac{13}{3}x-3=-3$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{13}{3}x=0$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{13}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në y=\frac{1}{3}x-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-3,x=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{x}{3} nga të dyja anët.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$3y-x=-9$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 4-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\left(-9\right)+\frac{1}{13}\left(-3\right)\\-\frac{1}{13}\left(-9\right)+\frac{3}{13}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-3,x=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{x}{3} nga të dyja anët.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$3y-x=-9$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

Për ta bërë 3y të barabartë me y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$3y-x=-9,3y+3\times 4x=3\left(-3\right)$$

Thjeshto.

$$3y-x=-9,3y+12x=-9$$

Zbrit 3y+12x=-9 nga 3y-x=-9 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3y-3y-x-12x=-9+9$$

Mblidh 3y me -3y. Shprehjet 3y dhe -3y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-x-12x=-9+9$$

Mblidh -x me -12x.

$$-13x=-9+9$$

Mblidh -9 me 9.

$$-13x=0$$

Pjesëto të dyja anët me -13.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në y+4x=-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-3,x=0$$