Zgjidh {l}{y=1/3x+4}{y=x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 4 } \\ { y = x + 10 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-9$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=10$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-\frac{1}{3}x=4,y-x=10$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-\frac{1}{3}x=4$$

Mblidh \frac{x}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=\frac{1}{3}x+4$$

Zëvendëso y me \frac{x}{3}+4 në ekuacionin tjetër, y-x=10.

$$\frac{1}{3}x+4-x=10$$

Mblidh \frac{x}{3} me -x.

$$-\frac{2}{3}x+4=10$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{2}{3}x=6$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{2}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-9$$

Zëvendëso x me -9 në y=\frac{1}{3}x+4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{1}{3}\left(-9\right)+4$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -9.

$$y=-3+4$$

Mblidh 4 me -3.

$$y=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=1,x=-9$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=10$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-\frac{1}{3}x=4,y-x=10$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\times 10\\\frac{3}{2}\times 4-\frac{3}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=1,x=-9$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=10$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-\frac{1}{3}x=4,y-x=10$$

Zbrit y-x=10 nga y-\frac{1}{3}x=4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-\frac{1}{3}x+x=4-10$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-\frac{1}{3}x+x=4-10$$

Mblidh -\frac{x}{3} me x.

$$\frac{2}{3}x=4-10$$

Mblidh 4 me -10.

$$\frac{2}{3}x=-6$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{2}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-9$$

Zëvendëso x me -9 në y-x=10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-\left(-9\right)=10$$

Shumëzo -1 herë -9.

$$y+9=10$$

Zbrit 9 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=1,x=-9$$