Zgjidh {l}{x=6y+16}{9x-2y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { x = 6 y + 16 } \\ { 9 x - 2 y = - 12 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-2$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6y nga të dyja anët.

$$x-6y=16$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-6y=16,9x-2y=-12$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-6y=16$$

Mblidh 6y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=6y+16$$

Zëvendëso x me 6y+16 në ekuacionin tjetër, 9x-2y=-12.

$$9\left(6y+16\right)-2y=-12$$

Shumëzo 9 herë 6y+16.

$$54y+144-2y=-12$$

Mblidh 54y me -2y.

$$52y+144=-12$$

Zbrit 144 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$52y=-156$$

Pjesëto të dyja anët me 52.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në x=6y+16. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=6\left(-3\right)+16$$

Shumëzo 6 herë -3.

$$x=-18+16$$

Mblidh 16 me -18.

$$x=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-2,y=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6y nga të dyja anët.

$$x-6y=16$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-6y=16,9x-2y=-12$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-6\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-12\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-12\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-6\times 9\right)}&-\frac{-6}{-2-\left(-6\times 9\right)}\\-\frac{9}{-2-\left(-6\times 9\right)}&\frac{1}{-2-\left(-6\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}&\frac{3}{26}\\-\frac{9}{52}&\frac{1}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}\times 16+\frac{3}{26}\left(-12\right)\\-\frac{9}{52}\times 16+\frac{1}{52}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-2,y=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6y nga të dyja anët.

$$x-6y=16$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-6y=16,9x-2y=-12$$

Për ta bërë x të barabartë me 9x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$9x+9\left(-6\right)y=9\times 16,9x-2y=-12$$

Thjeshto.

$$9x-54y=144,9x-2y=-12$$

Zbrit 9x-2y=-12 nga 9x-54y=144 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$9x-9x-54y+2y=144+12$$

Mblidh 9x me -9x. Shprehjet 9x dhe -9x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-54y+2y=144+12$$

Mblidh -54y me 2y.

$$-52y=144+12$$

Mblidh 144 me 12.

$$-52y=156$$

Pjesëto të dyja anët me -52.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në 9x-2y=-12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$9x-2\left(-3\right)=-12$$

Shumëzo -2 herë -3.

$$9x+6=-12$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$9x=-18$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$x=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-2,y=-3$$