Zgjidh {l}{x=3y+4}{3x-5y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { 3 x - 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-3y=4,3x-5y=8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-3y=4$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=3y+4$$

Zëvendëso x me 3y+4 në ekuacionin tjetër, 3x-5y=8.

$$3\left(3y+4\right)-5y=8$$

Shumëzo 3 herë 3y+4.

$$9y+12-5y=8$$

Mblidh 9y me -5y.

$$4y+12=8$$

Zbrit 12 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4y=-4$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$y=-1$$

Zëvendëso y me -1 në x=3y+4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=3\left(-1\right)+4$$

Shumëzo 3 herë -1.

$$x=-3+4$$

Mblidh 4 me -3.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-3y=4,3x-5y=8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-3\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{-5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\times 4+\frac{3}{4}\times 8\\-\frac{3}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-3y=4,3x-5y=8$$

Për ta bërë x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 4,3x-5y=8$$

Thjeshto.

$$3x-9y=12,3x-5y=8$$

Zbrit 3x-5y=8 nga 3x-9y=12 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-3x-9y+5y=12-8$$

Mblidh 3x me -3x. Shprehjet 3x dhe -3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-9y+5y=12-8$$

Mblidh -9y me 5y.

$$-4y=12-8$$

Mblidh 12 me -8.

$$-4y=4$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$y=-1$$

Zëvendëso y me -1 në 3x-5y=8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x-5\left(-1\right)=8$$

Shumëzo -5 herë -1.

$$3x+5=8$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=3$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=-1$$