Zgjidh {l}{x+y=10}{x*5=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 10 } \\ { x \times 5 = y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x\times 5-y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=10,5x-y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=10$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+10$$

Zëvendëso x me -y+10 në ekuacionin tjetër, 5x-y=0.

$$5\left(-y+10\right)-y=0$$

Shumëzo 5 herë -y+10.

$$-5y+50-y=0$$

Mblidh -5y me -y.

$$-6y+50=0$$

Zbrit 50 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-6y=-50$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$y=\frac{25}{3}$$

Zëvendëso y me \frac{25}{3} në x=-y+10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{25}{3}+10$$

Mblidh 10 me -\frac{25}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x\times 5-y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=10,5x-y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5}&-\frac{1}{-1-5}\\-\frac{5}{-1-5}&\frac{1}{-1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10\\\frac{5}{6}\times 10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{25}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x\times 5-y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=10,5x-y=0$$

Për ta bërë x të barabartë me 5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$5x+5y=5\times 10,5x-y=0$$

Thjeshto.

$$5x+5y=50,5x-y=0$$

Zbrit 5x-y=0 nga 5x+5y=50 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$5x-5x+5y+y=50$$

Mblidh 5x me -5x. Shprehjet 5x dhe -5x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$5y+y=50$$

Mblidh 5y me y.

$$6y=50$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$y=\frac{25}{3}$$

Zëvendëso y me \frac{25}{3} në 5x-y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$5x-\frac{25}{3}=0$$

Mblidh \frac{25}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=\frac{25}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$