Zgjidh {l}{x+19y=28}{13x-5y=-23}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 19 y = 28 } \\ { 13 x - 5 y = - 23 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{33}{28} = -1\frac{5}{28} \approx -1.178571429$$

$$y = \frac{43}{28} = 1\frac{15}{28} \approx 1.535714286$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+19y=28,13x-5y=-23$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+19y=28$$

Zbrit 19y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-19y+28$$

Zëvendëso x me -19y+28 në ekuacionin tjetër, 13x-5y=-23.

$$13\left(-19y+28\right)-5y=-23$$

Shumëzo 13 herë -19y+28.

$$-247y+364-5y=-23$$

Mblidh -247y me -5y.

$$-252y+364=-23$$

Zbrit 364 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-252y=-387$$

Pjesëto të dyja anët me -252.

$$y=\frac{43}{28}$$

Zëvendëso y me \frac{43}{28} në x=-19y+28. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-19\times \frac{43}{28}+28$$

Shumëzo -19 herë \frac{43}{28}.

$$x=-\frac{817}{28}+28$$

Mblidh 28 me -\frac{817}{28}.

$$x=-\frac{33}{28}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{33}{28},y=\frac{43}{28}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+19y=28,13x-5y=-23$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&19\\13&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-23\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&19\\13&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&19\\13&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&19\\13&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&19\\13&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-23\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&19\\13&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-23\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&19\\13&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-23\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-19\times 13}&-\frac{19}{-5-19\times 13}\\-\frac{13}{-5-19\times 13}&\frac{1}{-5-19\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-23\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{252}&\frac{19}{252}\\\frac{13}{252}&-\frac{1}{252}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-23\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{252}\times 28+\frac{19}{252}\left(-23\right)\\\frac{13}{252}\times 28-\frac{1}{252}\left(-23\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{28}\\\frac{43}{28}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{33}{28},y=\frac{43}{28}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+19y=28,13x-5y=-23$$

Për ta bërë x të barabartë me 13x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 13 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$13x+13\times 19y=13\times 28,13x-5y=-23$$

Thjeshto.

$$13x+247y=364,13x-5y=-23$$

Zbrit 13x-5y=-23 nga 13x+247y=364 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$13x-13x+247y+5y=364+23$$

Mblidh 13x me -13x. Shprehjet 13x dhe -13x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$247y+5y=364+23$$

Mblidh 247y me 5y.

$$252y=364+23$$

Mblidh 364 me 23.

$$252y=387$$

Pjesëto të dyja anët me 252.

$$y=\frac{43}{28}$$

Zëvendëso y me \frac{43}{28} në 13x-5y=-23. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$13x-5\times \frac{43}{28}=-23$$

Shumëzo -5 herë \frac{43}{28}.

$$13x-\frac{215}{28}=-23$$

Mblidh \frac{215}{28} në të dyja anët e ekuacionit.

$$13x=-\frac{429}{28}$$

Pjesëto të dyja anët me 13.

$$x=-\frac{33}{28}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{33}{28},y=\frac{43}{28}$$