Zgjidh {l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a}

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

Gjej a, b

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2b në të dyja anët.

$$a+2b=15$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2a në të dyja anët.

$$2a-5b+2a=15$$

Kombino 2a dhe 2a për të marrë 4a.

$$4a-5b=15$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej a duke veçuar a në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$a+2b=15$$

Zbrit 2b nga të dyja anët e ekuacionit.

$$a=-2b+15$$

Zëvendëso a me -2b+15 në ekuacionin tjetër, 4a-5b=15.

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

Shumëzo 4 herë -2b+15.

$$-8b+60-5b=15$$

Mblidh -8b me -5b.

$$-13b+60=15$$

Zbrit 60 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-13b=-45$$

Pjesëto të dyja anët me -13.

$$b=\frac{45}{13}$$

Zëvendëso b me \frac{45}{13} në a=-2b+15. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

Shumëzo -2 herë \frac{45}{13}.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

Mblidh 15 me -\frac{90}{13}.

$$a=\frac{105}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2b në të dyja anët.

$$a+2b=15$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2a në të dyja anët.

$$2a-5b+2a=15$$

Kombino 2a dhe 2a për të marrë 4a.

$$4a-5b=15$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës a dhe b.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2b në të dyja anët.

$$a+2b=15$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2a në të dyja anët.

$$2a-5b+2a=15$$

Kombino 2a dhe 2a për të marrë 4a.

$$4a-5b=15$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Për ta bërë a të barabartë me 4a, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

Thjeshto.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

Zbrit 4a-5b=15 nga 4a+8b=60 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

Mblidh 4a me -4a. Shprehjet 4a dhe -4a thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$8b+5b=60-15$$

Mblidh 8b me 5b.

$$13b=60-15$$

Mblidh 60 me -15.

$$13b=45$$

Pjesëto të dyja anët me 13.

$$b=\frac{45}{13}$$

Zëvendëso b me \frac{45}{13} në 4a-5b=15. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

Shumëzo -5 herë \frac{45}{13}.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

Mblidh \frac{225}{13} në të dyja anët e ekuacionit.

$$4a=\frac{420}{13}$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$a=\frac{105}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$