Zgjidh {l}{9x+8y=5280x?}{8x+12y=5280*9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 8 y = 5280 x ? } \\ { 8 x + 12 y = 5280 \times 9 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{8640}{1439} = 6\frac{6}{1439} \approx 6.004169562$$

$$y = \frac{5692680}{1439} = 3955\frac{1435}{1439} \approx 3955.997220292$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 5280x nga të dyja anët.

$$9x+8y-5280x=0$$

Kombino 9x dhe -5280x për të marrë -5271x.

$$-5271x+8y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo 5280 me 9 për të marrë 47520.

$$8x+12y=47520$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-5271x+8y=0,8x+12y=47520$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-5271x+8y=0$$

Zbrit 8y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-5271x=-8y$$

Pjesëto të dyja anët me -5271.

$$x=-\frac{1}{5271}\left(-8\right)y$$

Shumëzo -\frac{1}{5271} herë -8y.

$$x=\frac{8}{5271}y$$

Zëvendëso x me \frac{8y}{5271} në ekuacionin tjetër, 8x+12y=47520.

$$8\times \frac{8}{5271}y+12y=47520$$

Shumëzo 8 herë \frac{8y}{5271}.

$$\frac{64}{5271}y+12y=47520$$

Mblidh \frac{64y}{5271} me 12y.

$$\frac{63316}{5271}y=47520$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{63316}{5271}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{5692680}{1439}$$

Zëvendëso y me \frac{5692680}{1439} në x=\frac{8}{5271}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{8}{5271}\times \frac{5692680}{1439}$$

Shumëzo \frac{8}{5271} herë \frac{5692680}{1439} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{8640}{1439}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{8640}{1439},y=\frac{5692680}{1439}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 5280x nga të dyja anët.

$$9x+8y-5280x=0$$

Kombino 9x dhe -5280x për të marrë -5271x.

$$-5271x+8y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo 5280 me 9 për të marrë 47520.

$$8x+12y=47520$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-5271x+8y=0,8x+12y=47520$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-5271\times 12-8\times 8}&-\frac{8}{-5271\times 12-8\times 8}\\-\frac{8}{-5271\times 12-8\times 8}&-\frac{5271}{-5271\times 12-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{15829}&\frac{2}{15829}\\\frac{2}{15829}&\frac{5271}{63316}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15829}\times 47520\\\frac{5271}{63316}\times 47520\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8640}{1439}\\\frac{5692680}{1439}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{8640}{1439},y=\frac{5692680}{1439}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 5280x nga të dyja anët.

$$9x+8y-5280x=0$$

Kombino 9x dhe -5280x për të marrë -5271x.

$$-5271x+8y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo 5280 me 9 për të marrë 47520.

$$8x+12y=47520$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-5271x+8y=0,8x+12y=47520$$

Për ta bërë -5271x të barabartë me 8x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 8 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -5271.

$$8\left(-5271\right)x+8\times 8y=0,-5271\times 8x-5271\times 12y=-5271\times 47520$$

Thjeshto.

$$-42168x+64y=0,-42168x-63252y=-250477920$$

Zbrit -42168x-63252y=-250477920 nga -42168x+64y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-42168x+42168x+64y+63252y=250477920$$

Mblidh -42168x me 42168x. Shprehjet -42168x dhe 42168x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$64y+63252y=250477920$$

Mblidh 64y me 63252y.

$$63316y=250477920$$

Pjesëto të dyja anët me 63316.

$$y=\frac{5692680}{1439}$$

Zëvendëso y me \frac{5692680}{1439} në 8x+12y=47520. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$8x+12\times \frac{5692680}{1439}=47520$$

Shumëzo 12 herë \frac{5692680}{1439}.

$$8x+\frac{68312160}{1439}=47520$$

Zbrit \frac{68312160}{1439} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$8x=\frac{69120}{1439}$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$x=\frac{8640}{1439}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{8640}{1439},y=\frac{5692680}{1439}$$