Zgjidh {l}{9m+6n=123}{9m+5n=113}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 m + 6 n = 123 } \\ { 9 m + 5 n = 113 } \end{array} \right.$$

Gjej m, n

$$m=7$$

$$n=10$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej m duke veçuar m në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$9m+6n=123$$

Zbrit 6n nga të dyja anët e ekuacionit.

$$9m=-6n+123$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$m=\frac{1}{9}\left(-6n+123\right)$$

Shumëzo \frac{1}{9} herë -6n+123.

$$m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}$$

Zëvendëso m me \frac{-2n+41}{3} në ekuacionin tjetër, 9m+5n=113.

$$9\left(-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}\right)+5n=113$$

Shumëzo 9 herë \frac{-2n+41}{3}.

$$-6n+123+5n=113$$

Mblidh -6n me 5n.

$$-n+123=113$$

Zbrit 123 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-n=-10$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$n=10$$

Zëvendëso n me 10 në m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh m menjëherë.

$$m=-\frac{2}{3}\times 10+\frac{41}{3}$$

Shumëzo -\frac{2}{3} herë 10.

$$m=\frac{-20+41}{3}$$

Mblidh \frac{41}{3} me -\frac{20}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$m=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$m=7,n=10$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{9\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{9\times 5-6\times 9}&\frac{9}{9\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}&\frac{2}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}\times 123+\frac{2}{3}\times 113\\123-113\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës m dhe n.

$$m=7,n=10$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Zbrit 9m+5n=113 nga 9m+6n=123 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$9m-9m+6n-5n=123-113$$

Mblidh 9m me -9m. Shprehjet 9m dhe -9m thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$6n-5n=123-113$$

Mblidh 6n me -5n.

$$n=123-113$$

Mblidh 123 me -113.

$$n=10$$

Zëvendëso n me 10 në 9m+5n=113. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh m menjëherë.

$$9m+5\times 10=113$$

Shumëzo 5 herë 10.

$$9m+50=113$$

Zbrit 50 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$9m=63$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$m=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$m=7,n=10$$