Zgjidh {l}{6x=7y+4}{2x-14y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x = 7 y + 4 } \\ { 2 x - 14 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{9}{10}=0.9$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$6x-7y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 1 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$2x-14y=-1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$6x-7y=4$$

Mblidh 7y në të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=7y+4$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(7y+4\right)$$

Shumëzo \frac{1}{6} herë 7y+4.

$$x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{7y}{6}+\frac{2}{3} në ekuacionin tjetër, 2x-14y=-1.

$$2\left(\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}\right)-14y=-1$$

Shumëzo 2 herë \frac{7y}{6}+\frac{2}{3}.

$$\frac{7}{3}y+\frac{4}{3}-14y=-1$$

Mblidh \frac{7y}{3} me -14y.

$$-\frac{35}{3}y+\frac{4}{3}=-1$$

Zbrit \frac{4}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{35}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{35}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{1}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{1}{5} në x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{7}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{3}$$

Shumëzo \frac{7}{6} herë \frac{1}{5} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{7}{30}+\frac{2}{3}$$

Mblidh \frac{2}{3} me \frac{7}{30} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{9}{10}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$6x-7y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 1 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$2x-14y=-1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{6}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{35}&-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{10}\left(-1\right)\\\frac{1}{35}\times 4-\frac{3}{35}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$6x-7y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 1 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$2x-14y=-1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Për ta bërë 6x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 6.

$$2\times 6x+2\left(-7\right)y=2\times 4,6\times 2x+6\left(-14\right)y=6\left(-1\right)$$

Thjeshto.

$$12x-14y=8,12x-84y=-6$$

Zbrit 12x-84y=-6 nga 12x-14y=8 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$12x-12x-14y+84y=8+6$$

Mblidh 12x me -12x. Shprehjet 12x dhe -12x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-14y+84y=8+6$$

Mblidh -14y me 84y.

$$70y=8+6$$

Mblidh 8 me 6.

$$70y=14$$

Pjesëto të dyja anët me 70.

$$y=\frac{1}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{1}{5} në 2x-14y=-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x-14\times \frac{1}{5}=-1$$

Shumëzo -14 herë \frac{1}{5}.

$$2x-\frac{14}{5}=-1$$

Mblidh \frac{14}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=\frac{9}{5}$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{9}{10}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$