Zgjidh {l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$5y+4x=-13$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5y+4x=-13$$

Zbrit 4x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5y=-4x-13$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë -4x-13.

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{-4x-13}{5} në ekuacionin tjetër, 6y+3x=13.

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

Shumëzo 6 herë \frac{-4x-13}{5}.

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

Mblidh -\frac{24x}{5} me 3x.

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

Mblidh \frac{78}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{9}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-\frac{143}{9}$$

Zëvendëso x me -\frac{143}{9} në y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

Shumëzo -\frac{4}{5} herë -\frac{143}{9} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

Mblidh -\frac{13}{5} me \frac{572}{45} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=\frac{91}{9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$5y+4x=-13$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$5y+4x=-13$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Për ta bërë 5y të barabartë me 6y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 6 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

Thjeshto.

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

Zbrit 30y+15x=65 nga 30y+24x=-78 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

Mblidh 30y me -30y. Shprehjet 30y dhe -30y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$24x-15x=-78-65$$

Mblidh 24x me -15x.

$$9x=-78-65$$

Mblidh -78 me -65.

$$9x=-143$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$x=-\frac{143}{9}$$

Zëvendëso x me -\frac{143}{9} në 6y+3x=13. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

Shumëzo 3 herë -\frac{143}{9}.

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

Mblidh \frac{143}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$6y=\frac{182}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$y=\frac{91}{9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$