Zgjidh {l}{4x=9-3y}{5y=12-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 9 - 3 y } \\ { 5 y = 12 - 5 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 3y në të dyja anët.

$$4x+3y=9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 5x në të dyja anët.

$$5y+5x=12$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4x+3y=9$$

Zbrit 3y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=-3y+9$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+9\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -3y+9.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}$$

Zëvendëso x me \frac{-3y+9}{4} në ekuacionin tjetër, 5x+5y=12.

$$5\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)+5y=12$$

Shumëzo 5 herë \frac{-3y+9}{4}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{45}{4}+5y=12$$

Mblidh -\frac{15y}{4} me 5y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{45}{4}=12$$

Zbrit \frac{45}{4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{5}{4}y=\frac{3}{4}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{5}{4}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{3}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{3}{5} në x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}+\frac{9}{4}$$

Shumëzo -\frac{3}{4} herë \frac{3}{5} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{9}{4}$$

Mblidh \frac{9}{4} me -\frac{9}{20} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{9}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 3y në të dyja anët.

$$4x+3y=9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 5x në të dyja anët.

$$5y+5x=12$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 5}\\-\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&\frac{4}{4\times 5-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{5}\\-1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9-\frac{3}{5}\times 12\\-9+\frac{4}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 3y në të dyja anët.

$$4x+3y=9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 5x në të dyja anët.

$$5y+5x=12$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Për ta bërë 4x të barabartë me 5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 9,4\times 5x+4\times 5y=4\times 12$$

Thjeshto.

$$20x+15y=45,20x+20y=48$$

Zbrit 20x+20y=48 nga 20x+15y=45 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$20x-20x+15y-20y=45-48$$

Mblidh 20x me -20x. Shprehjet 20x dhe -20x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$15y-20y=45-48$$

Mblidh 15y me -20y.

$$-5y=45-48$$

Mblidh 45 me -48.

$$-5y=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$y=\frac{3}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{3}{5} në 5x+5y=12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$5x+5\times \frac{3}{5}=12$$

Shumëzo 5 herë \frac{3}{5}.

$$5x+3=12$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=9$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{9}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$