Zgjidh {l}{4x+5y=-12}{5x-17=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 12 } \\ { 5 x - 17 = - 7 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{169}{3} = -56\frac{1}{3} \approx -56.333333333$$

$$y = \frac{128}{3} = 42\frac{2}{3} \approx 42.666666667$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 7y në të dyja anët.

$$5x-17+7y=0$$

Shto 17 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$5x+7y=17$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4x+5y=-12$$

Zbrit 5y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=-5y-12$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-12\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -5y-12.

$$x=-\frac{5}{4}y-3$$

Zëvendëso x me -\frac{5y}{4}-3 në ekuacionin tjetër, 5x+7y=17.

$$5\left(-\frac{5}{4}y-3\right)+7y=17$$

Shumëzo 5 herë -\frac{5y}{4}-3.

$$-\frac{25}{4}y-15+7y=17$$

Mblidh -\frac{25y}{4} me 7y.

$$\frac{3}{4}y-15=17$$

Mblidh 15 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{3}{4}y=32$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{3}{4}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{128}{3}$$

Zëvendëso y me \frac{128}{3} në x=-\frac{5}{4}y-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{128}{3}-3$$

Shumëzo -\frac{5}{4} herë \frac{128}{3} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{160}{3}-3$$

Mblidh -3 me -\frac{160}{3}.

$$x=-\frac{169}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 7y në të dyja anët.

$$5x-17+7y=0$$

Shto 17 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$5x+7y=17$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 5}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}\\-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}&\frac{4}{4\times 7-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\left(-12\right)-\frac{5}{3}\times 17\\-\frac{5}{3}\left(-12\right)+\frac{4}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{3}\\\frac{128}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 7y në të dyja anët.

$$5x-17+7y=0$$

Shto 17 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$5x+7y=17$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Për ta bërë 4x të barabartë me 5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5\left(-12\right),4\times 5x+4\times 7y=4\times 17$$

Thjeshto.

$$20x+25y=-60,20x+28y=68$$

Zbrit 20x+28y=68 nga 20x+25y=-60 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$20x-20x+25y-28y=-60-68$$

Mblidh 20x me -20x. Shprehjet 20x dhe -20x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$25y-28y=-60-68$$

Mblidh 25y me -28y.

$$-3y=-60-68$$

Mblidh -60 me -68.

$$-3y=-128$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=\frac{128}{3}$$

Zëvendëso y me \frac{128}{3} në 5x+7y=17. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$5x+7\times \frac{128}{3}=17$$

Shumëzo 7 herë \frac{128}{3}.

$$5x+\frac{896}{3}=17$$

Zbrit \frac{896}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=-\frac{845}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=-\frac{169}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$