Zgjidh {l}{3x-4y=12}{y=-3x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 12 } \\ { y = - 3 x - 3 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$y+3x=-3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x-4y=12$$

Mblidh 4y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=4y+12$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+12\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 12+4y.

$$x=\frac{4}{3}y+4$$

Zëvendëso x me 4+\frac{4y}{3} në ekuacionin tjetër, 3x+y=-3.

$$3\left(\frac{4}{3}y+4\right)+y=-3$$

Shumëzo 3 herë 4+\frac{4y}{3}.

$$4y+12+y=-3$$

Mblidh 4y me y.

$$5y+12=-3$$

Zbrit 12 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5y=-15$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në x=\frac{4}{3}y+4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{4}{3}\left(-3\right)+4$$

Shumëzo \frac{4}{3} herë -3.

$$x=-4+4$$

Mblidh 4 me -4.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$y+3x=-3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 12+\frac{4}{15}\left(-3\right)\\-\frac{1}{5}\times 12+\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=0,y=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$y+3x=-3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

Zbrit 3x+y=-3 nga 3x-4y=12 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-3x-4y-y=12+3$$

Mblidh 3x me -3x. Shprehjet 3x dhe -3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-4y-y=12+3$$

Mblidh -4y me -y.

$$-5y=12+3$$

Mblidh 12 me 3.

$$-5y=15$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në 3x+y=-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x-3=-3$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=0$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=-3$$