Zgjidh {l}{3(2x-5)+2y=-41}{x-3y/9-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - 5 ) + 2 y = - 41 } \\ { \frac { x - 3 y } { 9 } - y = 5 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-3$$

$$y=-4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Shto 15 në të dyja anët.

$$6x+2y=-41+15$$

Shto -41 dhe 15 për të marrë -26.

$$6x+2y=-26$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 9.

$$x-3y-9y=45$$

Kombino -3y dhe -9y për të marrë -12y.

$$x-12y=45$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$6x+2y=-26$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=-2y-26$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-26\right)$$

Shumëzo \frac{1}{6} herë -2y-26.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{-y-13}{3} në ekuacionin tjetër, x-12y=45.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}-12y=45$$

Mblidh -\frac{y}{3} me -12y.

$$-\frac{37}{3}y-\frac{13}{3}=45$$

Mblidh \frac{13}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{37}{3}y=\frac{148}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{37}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-4$$

Zëvendëso y me -4 në x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{13}{3}$$

Shumëzo -\frac{1}{3} herë -4.

$$x=\frac{4-13}{3}$$

Mblidh -\frac{13}{3} me \frac{4}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-3,y=-4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Shto 15 në të dyja anët.

$$6x+2y=-41+15$$

Shto -41 dhe 15 për të marrë -26.

$$6x+2y=-26$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 9.

$$x-3y-9y=45$$

Kombino -3y dhe -9y për të marrë -12y.

$$x-12y=45$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{6\left(-12\right)-2}&-\frac{2}{6\left(-12\right)-2}\\-\frac{1}{6\left(-12\right)-2}&\frac{6}{6\left(-12\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}&\frac{1}{37}\\\frac{1}{74}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}\left(-26\right)+\frac{1}{37}\times 45\\\frac{1}{74}\left(-26\right)-\frac{3}{37}\times 45\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-3,y=-4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Shto 15 në të dyja anët.

$$6x+2y=-41+15$$

Shto -41 dhe 15 për të marrë -26.

$$6x+2y=-26$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 9.

$$x-3y-9y=45$$

Kombino -3y dhe -9y për të marrë -12y.

$$x-12y=45$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Për ta bërë 6x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 6.

$$6x+2y=-26,6x+6\left(-12\right)y=6\times 45$$

Thjeshto.

$$6x+2y=-26,6x-72y=270$$

Zbrit 6x-72y=270 nga 6x+2y=-26 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6x-6x+2y+72y=-26-270$$

Mblidh 6x me -6x. Shprehjet 6x dhe -6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2y+72y=-26-270$$

Mblidh 2y me 72y.

$$74y=-26-270$$

Mblidh -26 me -270.

$$74y=-296$$

Pjesëto të dyja anët me 74.

$$y=-4$$

Zëvendëso y me -4 në x-12y=45. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-12\left(-4\right)=45$$

Shumëzo -12 herë -4.

$$x+48=45$$

Zbrit 48 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-3,y=-4$$