Zgjidh {l}{2+3x-y=20}{x-2=y+2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 + 3 x - y = 20 } \\ { x - 2 = y + 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=7$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$3x-y=20-2$$

Zbrit 2 nga 20 për të marrë 18.

$$3x-y=18$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-2-y=2$$

Shto 2 në të dyja anët.

$$x-y=2+2$$

Shto 2 dhe 2 për të marrë 4.

$$x-y=4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x-y=18,x-y=4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x-y=18$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=y+18$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+18\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë y+18.

$$x=\frac{1}{3}y+6$$

Zëvendëso x me \frac{y}{3}+6 në ekuacionin tjetër, x-y=4.

$$\frac{1}{3}y+6-y=4$$

Mblidh \frac{y}{3} me -y.

$$-\frac{2}{3}y+6=4$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{2}{3}y=-2$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{2}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në x=\frac{1}{3}y+6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{3}\times 3+6$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 3.

$$x=1+6$$

Mblidh 6 me 1.

$$x=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=7,y=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$3x-y=20-2$$

Zbrit 2 nga 20 për të marrë 18.

$$3x-y=18$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-2-y=2$$

Shto 2 në të dyja anët.

$$x-y=2+2$$

Shto 2 dhe 2 për të marrë 4.

$$x-y=4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x-y=18,x-y=4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 18-\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 18-\frac{3}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=7,y=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$3x-y=20-2$$

Zbrit 2 nga 20 për të marrë 18.

$$3x-y=18$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-2-y=2$$

Shto 2 në të dyja anët.

$$x-y=2+2$$

Shto 2 dhe 2 për të marrë 4.

$$x-y=4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x-y=18,x-y=4$$

Zbrit x-y=4 nga 3x-y=18 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-x-y+y=18-4$$

Mblidh -y me y. Shprehjet -y dhe y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3x-x=18-4$$

Mblidh 3x me -x.

$$2x=18-4$$

Mblidh 18 me -4.

$$2x=14$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=7$$

Zëvendëso x me 7 në x-y=4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$7-y=4$$

Zbrit 7 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=7,y=3$$