Zgjidh {l}{1=2r-3s}{4=3r+2s}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = 2 r - 3 s } \\ { 4 = 3 r + 2 s } \end{array} \right.$$

Gjej r, s

$$r = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

$$s=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$2r-3s=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3r+2s=4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej r duke veçuar r në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2r-3s=1$$

Mblidh 3s në të dyja anët e ekuacionit.

$$2r=3s+1$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 3s+1.

$$r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}$$

Zëvendëso r me \frac{3s+1}{2} në ekuacionin tjetër, 3r+2s=4.

$$3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4$$

Shumëzo 3 herë \frac{3s+1}{2}.

$$\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4$$

Mblidh \frac{9s}{2} me 2s.

$$\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4$$

Zbrit \frac{3}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{13}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$s=\frac{5}{13}$$

Zëvendëso s me \frac{5}{13} në r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh r menjëherë.

$$r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë \frac{5}{13} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}$$

Mblidh \frac{1}{2} me \frac{15}{26} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$r=\frac{14}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$2r-3s=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3r+2s=4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës r dhe s.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$2r-3s=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3r+2s=4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Për ta bërë 2r të barabartë me 3r, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4$$

Thjeshto.

$$6r-9s=3,6r+4s=8$$

Zbrit 6r+4s=8 nga 6r-9s=3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6r-6r-9s-4s=3-8$$

Mblidh 6r me -6r. Shprehjet 6r dhe -6r thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-9s-4s=3-8$$

Mblidh -9s me -4s.

$$-13s=3-8$$

Mblidh 3 me -8.

$$-13s=-5$$

Pjesëto të dyja anët me -13.

$$s=\frac{5}{13}$$

Zëvendëso s me \frac{5}{13} në 3r+2s=4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh r menjëherë.

$$3r+2\times \frac{5}{13}=4$$

Shumëzo 2 herë \frac{5}{13}.

$$3r+\frac{10}{13}=4$$

Zbrit \frac{10}{13} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3r=\frac{42}{13}$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$r=\frac{14}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$