Zgjidh {l}{text{(4)}(acosalpha,2acosalpha)}{text{f}y+b=m_{1}(x+a)text{and}y+b=m_{2}(x+a)text{are}}{text{wotangentstotheparabola}y^2=4ax,text{then}}{{llll}{text{(1)}m_{1}+m_{2}=0}&{text{(2)}m_{1}m_{2}=1}}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (4) } ( a \cos \alpha , 2 a \cos \alpha ) } \\ { \text { f } y + b = m _ { 1 } ( x + a ) \text { and } y + b = m _ { 2 } ( x + a ) \text { are } } \\ { \text { wo tangents to the parabola } y ^ { 2 } = 4 a x , \text { then } } \\ { \left. \begin{array} { l l l l } { \text { (1) } m _ { 1 } + m _ { 2 } = 0 } & { \text { (2) } m _ { 1 } m _ { 2 } = 1 } \end{array} \right. } \end{array} \right.$$

Gjej x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar m_{1} me x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Zbrit m_{1}x nga të dyja anët.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Zbrit b nga të dyja anët.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar m_{2} me x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Zbrit m_{2}x nga të dyja anët.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Zbrit b nga të dyja anët.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

Mblidh m_{1}x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

Zëvendëso y me m_{1}x+am_{1}-b në ekuacionin tjetër, y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Mblidh m_{1}x me -m_{2}x.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

Zbrit am_{1}-b nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

Pjesëto të dyja anët me m_{1}-m_{2}.

$$x=-a$$

Zëvendëso x me -a në y=m_{1}x+am_{1}-b. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

Shumëzo m_{1} herë -a.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

Mblidh am_{1}-b me -m_{1}a.

$$y=-b$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-b,x=-a$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar m_{1} me x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Zbrit m_{1}x nga të dyja anët.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Zbrit b nga të dyja anët.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar m_{2} me x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Zbrit m_{2}x nga të dyja anët.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Zbrit b nga të dyja anët.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-b,x=-a$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar m_{1} me x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Zbrit m_{1}x nga të dyja anët.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Zbrit b nga të dyja anët.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar m_{2} me x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Zbrit m_{2}x nga të dyja anët.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Zbrit b nga të dyja anët.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Zbrit y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b nga y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Mblidh -m_{1}x me m_{2}x.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Mblidh am_{1}-b me -m_{2}a+b.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

Pjesëto të dyja anët me -m_{1}+m_{2}.

$$x=-a$$

Zëvendëso x me -a në y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

Shumëzo -m_{2} herë -a.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

Zbrit m_{2}a nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-b$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-b,x=-a$$

Gjej x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar m_{1} me x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Zbrit m_{1}x nga të dyja anët.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Zbrit b nga të dyja anët.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar m_{2} me x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Zbrit m_{2}x nga të dyja anët.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Zbrit b nga të dyja anët.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

Mblidh m_{1}x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

Zëvendëso y me m_{1}x+am_{1}-b në ekuacionin tjetër, y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Mblidh m_{1}x me -m_{2}x.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

Zbrit am_{1}-b nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

Pjesëto të dyja anët me m_{1}-m_{2}.

$$x=-a$$

Zëvendëso x me -a në y=m_{1}x+am_{1}-b. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

Shumëzo m_{1} herë -a.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

Mblidh am_{1}-b me -m_{1}a.

$$y=-b$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-b,x=-a$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar m_{1} me x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Zbrit m_{1}x nga të dyja anët.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Zbrit b nga të dyja anët.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar m_{2} me x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Zbrit m_{2}x nga të dyja anët.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Zbrit b nga të dyja anët.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-b,x=-a$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar m_{1} me x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Zbrit m_{1}x nga të dyja anët.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Zbrit b nga të dyja anët.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar m_{2} me x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Zbrit m_{2}x nga të dyja anët.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Zbrit b nga të dyja anët.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Zbrit y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b nga y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Mblidh -m_{1}x me m_{2}x.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Mblidh am_{1}-b me -m_{2}a+b.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

Pjesëto të dyja anët me -m_{1}+m_{2}.

$$x=-a$$

Zëvendëso x me -a në y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

Shumëzo -m_{2} herë -a.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

Zbrit m_{2}a nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-b$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-b,x=-a$$