Zgjidh {l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=5$$

$$y=-10$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,10.

$$2x-20=y$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-20-y=0$$

Shto 20 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x-y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 7y në të dyja anët.

$$5x+45+7y=0$$

Zbrit 45 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$5x+7y=-45$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-y=20$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=y+20$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë y+20.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

Zëvendëso x me \frac{y}{2}+10 në ekuacionin tjetër, 5x+7y=-45.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

Shumëzo 5 herë \frac{y}{2}+10.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

Mblidh \frac{5y}{2} me 7y.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

Zbrit 50 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{19}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-10$$

Zëvendëso y me -10 në x=\frac{1}{2}y+10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -10.

$$x=-5+10$$

Mblidh 10 me -5.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=-10$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,10.

$$2x-20=y$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-20-y=0$$

Shto 20 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x-y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 7y në të dyja anët.

$$5x+45+7y=0$$

Zbrit 45 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$5x+7y=-45$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=5,y=-10$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,10.

$$2x-20=y$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-20-y=0$$

Shto 20 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x-y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 7y në të dyja anët.

$$5x+45+7y=0$$

Zbrit 45 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$5x+7y=-45$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

Thjeshto.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

Zbrit 10x+14y=-90 nga 10x-5y=100 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

Mblidh 10x me -10x. Shprehjet 10x dhe -10x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-5y-14y=100+90$$

Mblidh -5y me -14y.

$$-19y=100+90$$

Mblidh 100 me 90.

$$-19y=190$$

Pjesëto të dyja anët me -19.

$$y=-10$$

Zëvendëso y me -10 në 5x+7y=-45. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

Shumëzo 7 herë -10.

$$5x-70=-45$$

Mblidh 70 në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=25$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=-10$$