Zgjidh {l}{x/4-3/8y=3}{5/3x-y/2=12}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } - \frac { 3 } { 8 } y = 3 } \\ { \frac { 5 } { 3 } x - \frac { y } { 2 } = 12 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 8, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,8.

$$2x-3y=24$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$10x-3y=72$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-3y=24$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=3y+24$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 24+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

Zëvendëso x me \frac{3y}{2}+12 në ekuacionin tjetër, 10x-3y=72.

$$10\left(\frac{3}{2}y+12\right)-3y=72$$

Shumëzo 10 herë \frac{3y}{2}+12.

$$15y+120-3y=72$$

Mblidh 15y me -3y.

$$12y+120=72$$

Zbrit 120 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$12y=-48$$

Pjesëto të dyja anët me 12.

$$y=-4$$

Zëvendëso y me -4 në x=\frac{3}{2}y+12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{2}\left(-4\right)+12$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë -4.

$$x=-6+12$$

Mblidh 12 me -6.

$$x=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=6,y=-4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 8, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,8.

$$2x-3y=24$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$10x-3y=72$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\\-\frac{10}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 24+\frac{1}{8}\times 72\\-\frac{5}{12}\times 24+\frac{1}{12}\times 72\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=6,y=-4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 8, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,8.

$$2x-3y=24$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$10x-3y=72$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Zbrit 10x-3y=72 nga 2x-3y=24 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-10x-3y+3y=24-72$$

Mblidh -3y me 3y. Shprehjet -3y dhe 3y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2x-10x=24-72$$

Mblidh 2x me -10x.

$$-8x=24-72$$

Mblidh 24 me -72.

$$-8x=-48$$

Pjesëto të dyja anët me -8.

$$x=6$$

Zëvendëso x me 6 në 10x-3y=72. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$10\times 6-3y=72$$

Shumëzo 10 herë 6.

$$60-3y=72$$

Zbrit 60 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-3y=12$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=-4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=6,y=-4$$