Zgjidh {l}{3x+y/2=2}{y+1/x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 x + y } { 2 } = 2 } \\ { \frac { y + 1 } { x } = - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=5$$

$$y=-11$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët me 2.

$$3x+y=2\times 2$$

Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$3x+y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me x.

$$y+1=-2x$$

Shto 2x në të dyja anët.

$$y+1+2x=0$$

Zbrit 1 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$y+2x=-1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+y=4$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-y+4$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+4\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -y+4.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{4-y}{3} në ekuacionin tjetër, 2x+y=-1.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)+y=-1$$

Shumëzo 2 herë \frac{4-y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}+y=-1$$

Mblidh -\frac{2y}{3} me y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Zbrit \frac{8}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Shumëzo të dyja anët me 3.

$$y=-11$$

Zëvendëso y me -11 në x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-11\right)+\frac{4}{3}$$

Shumëzo -\frac{1}{3} herë -11.

$$x=\frac{11+4}{3}$$

Mblidh \frac{4}{3} me \frac{11}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=-11$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët me 2.

$$3x+y=2\times 2$$

Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$3x+y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me x.

$$y+1=-2x$$

Shto 2x në të dyja anët.

$$y+1+2x=0$$

Zbrit 1 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$y+2x=-1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-\left(-1\right)\\-2\times 4+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-11\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=5,y=-11$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët me 2.

$$3x+y=2\times 2$$

Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$3x+y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me x.

$$y+1=-2x$$

Shto 2x në të dyja anët.

$$y+1+2x=0$$

Zbrit 1 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$y+2x=-1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

Zbrit 2x+y=-1 nga 3x+y=4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-2x+y-y=4+1$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3x-2x=4+1$$

Mblidh 3x me -2x.

$$x=4+1$$

Mblidh 4 me 1.

$$x=5$$

Zëvendëso x me 5 në 2x+y=-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$2\times 5+y=-1$$

Shumëzo 2 herë 5.

$$10+y=-1$$

Zbrit 10 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-11$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=-11$$