Zgjidh {l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 50, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Shumëzo 2 me 27 për të marrë 54.

$$54x+45y=50400$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$54x+45y=50400$$

Zbrit 45y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$54x=-45y+50400$$

Pjesëto të dyja anët me 54.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

Shumëzo \frac{1}{54} herë -45y+50400.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Zëvendëso x me -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} në ekuacionin tjetër, \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

Shumëzo \frac{11}{10} herë -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

Mblidh -\frac{11y}{12} me \frac{43y}{5}.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Zbrit \frac{3080}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{461}{60}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{80}{461}$$

Zëvendëso y me \frac{80}{461} në x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

Shumëzo -\frac{5}{6} herë \frac{80}{461} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

Mblidh \frac{2800}{3} me -\frac{200}{1383} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 50, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Shumëzo 2 me 27 për të marrë 54.

$$54x+45y=50400$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 50, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Shumëzo 2 me 27 për të marrë 54.

$$54x+45y=50400$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Për ta bërë 54x të barabartë me \frac{11x}{10}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me \frac{11}{10} dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 54.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

Thjeshto.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

Zbrit \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 nga \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Mblidh \frac{297x}{5} me -\frac{297x}{5}. Shprehjet \frac{297x}{5} dhe -\frac{297x}{5} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Mblidh \frac{99y}{2} me -\frac{2322y}{5}.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

Mblidh 55440 me -55512.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{4149}{10}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{80}{461}$$

Zëvendëso y me \frac{80}{461} në \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

Shumëzo \frac{43}{5} herë \frac{80}{461} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

Zbrit \frac{688}{461} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{11}{10}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$