Zgjidh {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=7$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Kombino 8x dhe -3x për të marrë 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Kombino -4y dhe 6y për të marrë 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Zbrit 9 nga 12 për të marrë 3.

$$5x+2y+3=48$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$5x+2y=48-3$$

Zbrit 3 nga 48 për të marrë 45.

$$5x+2y=45$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Kombino 9x dhe 16x për të marrë 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Kombino -12y dhe -8y për të marrë -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Zbrit 36 nga 9 për të marrë -27.

$$25x-20y-27=48$$

Shto 27 në të dyja anët.

$$25x-20y=48+27$$

Shto 48 dhe 27 për të marrë 75.

$$25x-20y=75$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x+2y=45$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=-2y+45$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë -2y+45.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

Zëvendëso x me -\frac{2y}{5}+9 në ekuacionin tjetër, 25x-20y=75.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

Shumëzo 25 herë -\frac{2y}{5}+9.

$$-10y+225-20y=75$$

Mblidh -10y me -20y.

$$-30y+225=75$$

Zbrit 225 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-30y=-150$$

Pjesëto të dyja anët me -30.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në x=-\frac{2}{5}y+9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

Shumëzo -\frac{2}{5} herë 5.

$$x=-2+9$$

Mblidh 9 me -2.

$$x=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=7,y=5$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Kombino 8x dhe -3x për të marrë 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Kombino -4y dhe 6y për të marrë 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Zbrit 9 nga 12 për të marrë 3.

$$5x+2y+3=48$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$5x+2y=48-3$$

Zbrit 3 nga 48 për të marrë 45.

$$5x+2y=45$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Kombino 9x dhe 16x për të marrë 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Kombino -12y dhe -8y për të marrë -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Zbrit 36 nga 9 për të marrë -27.

$$25x-20y-27=48$$

Shto 27 në të dyja anët.

$$25x-20y=48+27$$

Shto 48 dhe 27 për të marrë 75.

$$25x-20y=75$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=7,y=5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Kombino 8x dhe -3x për të marrë 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Kombino -4y dhe 6y për të marrë 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Zbrit 9 nga 12 për të marrë 3.

$$5x+2y+3=48$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$5x+2y=48-3$$

Zbrit 3 nga 48 për të marrë 45.

$$5x+2y=45$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Kombino 9x dhe 16x për të marrë 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Kombino -12y dhe -8y për të marrë -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Zbrit 36 nga 9 për të marrë -27.

$$25x-20y-27=48$$

Shto 27 në të dyja anët.

$$25x-20y=48+27$$

Shto 48 dhe 27 për të marrë 75.

$$25x-20y=75$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Për ta bërë 5x të barabartë me 25x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 25 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

Thjeshto.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

Zbrit 125x-100y=375 nga 125x+50y=1125 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

Mblidh 125x me -125x. Shprehjet 125x dhe -125x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$50y+100y=1125-375$$

Mblidh 50y me 100y.

$$150y=1125-375$$

Mblidh 1125 me -375.

$$150y=750$$

Pjesëto të dyja anët me 150.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në 25x-20y=75. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$25x-20\times 5=75$$

Shumëzo -20 herë 5.

$$25x-100=75$$

Mblidh 100 në të dyja anët e ekuacionit.

$$25x=175$$

Pjesëto të dyja anët me 25.

$$x=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=7,y=5$$