Zgjidh {l}{2x+3/3y-2=1}{x(2y-5)-2y(x+3)=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 y - 2 } = 1 } \\ { x ( 2 y - 5 ) - 2 y ( x + 3 ) = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me \frac{2}{3} meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$2x+3-3y=-2$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$2x-3y=-2-3$$

Zbrit 3 nga -2 për të marrë -5.

$$2x-3y=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x me 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2y me x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Kombino 2xy dhe -2yx për të marrë 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Kombino -5x dhe -2x për të marrë -7x.

$$-7x-6y=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-3y=-5$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=3y-5$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{3y-5}{2} në ekuacionin tjetër, -7x-6y=1.

$$-7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=1$$

Shumëzo -7 herë \frac{3y-5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-6y=1$$

Mblidh -\frac{21y}{2} me -6y.

$$-\frac{33}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

Zbrit \frac{35}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{33}{2}y=-\frac{33}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{33}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3-5}{2}$$

Mblidh -\frac{5}{2} me \frac{3}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-1,y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me \frac{2}{3} meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$2x+3-3y=-2$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$2x-3y=-2-3$$

Zbrit 3 nga -2 për të marrë -5.

$$2x-3y=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x me 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2y me x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Kombino 2xy dhe -2yx për të marrë 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Kombino -5x dhe -2x për të marrë -7x.

$$-7x-6y=1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}\left(-5\right)-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-1,y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me \frac{2}{3} meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$2x+3-3y=-2$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$2x-3y=-2-3$$

Zbrit 3 nga -2 për të marrë -5.

$$2x-3y=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x me 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2y me x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Kombino 2xy dhe -2yx për të marrë 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Kombino -5x dhe -2x për të marrë -7x.

$$-7x-6y=1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Për ta bërë 2x të barabartë me -7x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -7 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$-7\times 2x-7\left(-3\right)y=-7\left(-5\right),2\left(-7\right)x+2\left(-6\right)y=2$$

Thjeshto.

$$-14x+21y=35,-14x-12y=2$$

Zbrit -14x-12y=2 nga -14x+21y=35 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-14x+14x+21y+12y=35-2$$

Mblidh -14x me 14x. Shprehjet -14x dhe 14x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$21y+12y=35-2$$

Mblidh 21y me 12y.

$$33y=35-2$$

Mblidh 35 me -2.

$$33y=33$$

Pjesëto të dyja anët me 33.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në -7x-6y=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-7x-6=1$$

Mblidh 6 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-7x=7$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$x=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-1,y=1$$