Zgjidh {l}{y=9-2x}{3x+2y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 9 - 2 x } \\ { 3 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=9$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+2x=9$$

Zbrit 2x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-2x+9$$

Zëvendëso y me -2x+9 në ekuacionin tjetër, 2y+3x=16.

$$2\left(-2x+9\right)+3x=16$$

Shumëzo 2 herë -2x+9.

$$-4x+18+3x=16$$

Mblidh -4x me 3x.

$$-x+18=16$$

Zbrit 18 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-2$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y=-2x+9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-2\times 2+9$$

Shumëzo -2 herë 2.

$$y=-4+9$$

Mblidh 9 me -4.

$$y=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=5,x=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=9$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 9+2\times 16\\2\times 9-16\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=5,x=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=9$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

Për ta bërë y të barabartë me 2y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$2y+2\times 2x=2\times 9,2y+3x=16$$

Thjeshto.

$$2y+4x=18,2y+3x=16$$

Zbrit 2y+3x=16 nga 2y+4x=18 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2y-2y+4x-3x=18-16$$

Mblidh 2y me -2y. Shprehjet 2y dhe -2y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$4x-3x=18-16$$

Mblidh 4x me -3x.

$$x=18-16$$

Mblidh 18 me -16.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në 2y+3x=16. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$2y+3\times 2=16$$

Shumëzo 3 herë 2.

$$2y+6=16$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=10$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=5,x=2$$