Zgjidh {l}{y=3x-2}{5x+4y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 2 } \\ { 5 x + 4 y = 9 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-3x=-2$$

Mblidh 3x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=3x-2$$

Zëvendëso y me 3x-2 në ekuacionin tjetër, 4y+5x=9.

$$4\left(3x-2\right)+5x=9$$

Shumëzo 4 herë 3x-2.

$$12x-8+5x=9$$

Mblidh 12x me 5x.

$$17x-8=9$$

Mblidh 8 në të dyja anët e ekuacionit.

$$17x=17$$

Pjesëto të dyja anët me 17.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y=3x-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=3-2$$

Mblidh -2 me 3.

$$y=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=1,x=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-2\right)+\frac{3}{17}\times 9\\-\frac{4}{17}\left(-2\right)+\frac{1}{17}\times 9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=1,x=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

Për ta bërë y të barabartë me 4y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$4y+4\left(-3\right)x=4\left(-2\right),4y+5x=9$$

Thjeshto.

$$4y-12x=-8,4y+5x=9$$

Zbrit 4y+5x=9 nga 4y-12x=-8 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$4y-4y-12x-5x=-8-9$$

Mblidh 4y me -4y. Shprehjet 4y dhe -4y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-12x-5x=-8-9$$

Mblidh -12x me -5x.

$$-17x=-8-9$$

Mblidh -8 me -9.

$$-17x=-17$$

Pjesëto të dyja anët me -17.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në 4y+5x=9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$4y+5=9$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4y=4$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$y=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=1,x=1$$