Zgjidh {l}{y=2x-5}{2x-3y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x - 5 } \\ { 2 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=2$$

$$y=-1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=-5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-2x=-5,-3y+2x=7$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-2x=-5$$

Mblidh 2x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2x-5$$

Zëvendëso y me 2x-5 në ekuacionin tjetër, -3y+2x=7.

$$-3\left(2x-5\right)+2x=7$$

Shumëzo -3 herë 2x-5.

$$-6x+15+2x=7$$

Mblidh -6x me 2x.

$$-4x+15=7$$

Zbrit 15 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-4x=-8$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y=2x-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=2\times 2-5$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$y=4-5$$

Mblidh -5 me 4.

$$y=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-1,x=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=-5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-2x=-5,-3y+2x=7$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-5\right)-\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{3}{4}\left(-5\right)-\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-1,x=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=-5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-2x=-5,-3y+2x=7$$

Për ta bërë y të barabartë me -3y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-3y-3\left(-2\right)x=-3\left(-5\right),-3y+2x=7$$

Thjeshto.

$$-3y+6x=15,-3y+2x=7$$

Zbrit -3y+2x=7 nga -3y+6x=15 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-3y+3y+6x-2x=15-7$$

Mblidh -3y me 3y. Shprehjet -3y dhe 3y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$6x-2x=15-7$$

Mblidh 6x me -2x.

$$4x=15-7$$

Mblidh 15 me -7.

$$4x=8$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në -3y+2x=7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-3y+2\times 2=7$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$-3y+4=7$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-3y=3$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-1,x=2$$