Zgjidh {l}{y=2x+2}{y=4x+6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x + 2 } \\ { y = 4 x + 6 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-2$$

$$y=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=6$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-2x=2,y-4x=6$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-2x=2$$

Mblidh 2x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2x+2$$

Zëvendëso y me 2+2x në ekuacionin tjetër, y-4x=6.

$$2x+2-4x=6$$

Mblidh 2x me -4x.

$$-2x+2=6$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=4$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-2$$

Zëvendëso x me -2 në y=2x+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=2\left(-2\right)+2$$

Shumëzo 2 herë -2.

$$y=-4+2$$

Mblidh 2 me -4.

$$y=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-2,x=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=6$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-2x=2,y-4x=6$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-2\right)}&\frac{1}{-4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2-6\\\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\times 6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-2,x=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=6$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-2x=2,y-4x=6$$

Zbrit y-4x=6 nga y-2x=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-2x+4x=2-6$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2x+4x=2-6$$

Mblidh -2x me 4x.

$$2x=2-6$$

Mblidh 2 me -6.

$$2x=-4$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=-2$$

Zëvendëso x me -2 në y-4x=6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-4\left(-2\right)=6$$

Shumëzo -4 herë -2.

$$y+8=6$$

Zbrit 8 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-2,x=-2$$