Zgjidh {l}{y=-5x+1}{5x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 1 } \\ { 5 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-1$$

$$y=6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 5x në të dyja anët.

$$y+5x=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+5x=1$$

Zbrit 5x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-5x+1$$

Zëvendëso y me -5x+1 në ekuacionin tjetër, 2y+5x=7.

$$2\left(-5x+1\right)+5x=7$$

Shumëzo 2 herë -5x+1.

$$-10x+2+5x=7$$

Mblidh -10x me 5x.

$$-5x+2=7$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-5x=5$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në y=-5x+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-5\left(-1\right)+1$$

Shumëzo -5 herë -1.

$$y=5+1$$

Mblidh 1 me 5.

$$y=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=6,x=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 5x në të dyja anët.

$$y+5x=1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\times 2}&-\frac{5}{5-5\times 2}\\-\frac{2}{5-5\times 2}&\frac{1}{5-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+7\\\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=6,x=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 5x në të dyja anët.

$$y+5x=1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

Zbrit 2y+5x=7 nga y+5x=1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-2y+5x-5x=1-7$$

Mblidh 5x me -5x. Shprehjet 5x dhe -5x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$y-2y=1-7$$

Mblidh y me -2y.

$$-y=1-7$$

Mblidh 1 me -7.

$$-y=-6$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=6$$

Zëvendëso y me 6 në 2y+5x=7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2\times 6+5x=7$$

Shumëzo 2 herë 6.

$$12+5x=7$$

Zbrit 12 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=-5$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=6,x=-1$$