Zgjidh {l}{x_{1}-2x_{2}=3}{2x_{1}+3x_{2}=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } - 2 x _ { 2 } = 3 } \\ { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x_1, x_2

$$x_{1} = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$x_{2}=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x_{1} duke veçuar x_{1} në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x_{1}-2x_{2}=3$$

Mblidh 2x_{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x_{1}=2x_{2}+3$$

Zëvendëso x_{1} me 2x_{2}+3 në ekuacionin tjetër, 2x_{1}+3x_{2}=1.

$$2\left(2x_{2}+3\right)+3x_{2}=1$$

Shumëzo 2 herë 2x_{2}+3.

$$4x_{2}+6+3x_{2}=1$$

Mblidh 4x_{2} me 3x_{2}.

$$7x_{2}+6=1$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$7x_{2}=-5$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x_{2}=-\frac{5}{7}$$

Zëvendëso x_{2} me -\frac{5}{7} në x_{1}=2x_{2}+3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x_{1} menjëherë.

$$x_{1}=2\left(-\frac{5}{7}\right)+3$$

Shumëzo 2 herë -\frac{5}{7}.

$$x_{1}=-\frac{10}{7}+3$$

Mblidh 3 me -\frac{10}{7}.

$$x_{1}=\frac{11}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 3+\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}\times 3+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x_{1} dhe x_{2}.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Për ta bërë x_{1} të barabartë me 2x_{1}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$2x_{1}+2\left(-2\right)x_{2}=2\times 3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Thjeshto.

$$2x_{1}-4x_{2}=6,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Zbrit 2x_{1}+3x_{2}=1 nga 2x_{1}-4x_{2}=6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x_{1}-2x_{1}-4x_{2}-3x_{2}=6-1$$

Mblidh 2x_{1} me -2x_{1}. Shprehjet 2x_{1} dhe -2x_{1} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-4x_{2}-3x_{2}=6-1$$

Mblidh -4x_{2} me -3x_{2}.

$$-7x_{2}=6-1$$

Mblidh 6 me -1.

$$-7x_{2}=5$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$x_{2}=-\frac{5}{7}$$

Zëvendëso x_{2} me -\frac{5}{7} në 2x_{1}+3x_{2}=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x_{1} menjëherë.

$$2x_{1}+3\left(-\frac{5}{7}\right)=1$$

Shumëzo 3 herë -\frac{5}{7}.

$$2x_{1}-\frac{15}{7}=1$$

Mblidh \frac{15}{7} në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x_{1}=\frac{22}{7}$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x_{1}=\frac{11}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$