Zgjidh {l}{x=3y+4}{y=1/2x-8/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=8$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{2}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-3y=4$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=3y+4$$

Zëvendëso x me 3y+4 në ekuacionin tjetër, -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}.

$$-\frac{1}{2}\left(3y+4\right)+y=-\frac{8}{3}$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë 3y+4.

$$-\frac{3}{2}y-2+y=-\frac{8}{3}$$

Mblidh -\frac{3y}{2} me y.

$$-\frac{1}{2}y-2=-\frac{8}{3}$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{3}$$

Shumëzo të dyja anët me -2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Zëvendëso y me \frac{4}{3} në x=3y+4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=3\times \frac{4}{3}+4$$

Shumëzo 3 herë \frac{4}{3}.

$$x=4+4$$

Mblidh 4 me 4.

$$x=8$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{2}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-6\left(-\frac{8}{3}\right)\\-4-2\left(-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{2}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Për ta bërë x të barabartë me -\frac{x}{2}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -\frac{1}{2} dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Thjeshto.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Zbrit -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} nga -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Mblidh -\frac{x}{2} me \frac{x}{2}. Shprehjet -\frac{x}{2} dhe \frac{x}{2} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Mblidh \frac{3y}{2} me -y.

$$\frac{1}{2}y=-2+\frac{8}{3}$$

Mblidh -2 me \frac{8}{3}.

$$\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}$$

Shumëzo të dyja anët me 2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Zëvendëso y me \frac{4}{3} në -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Zbrit \frac{4}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{1}{2}x=-4$$

Shumëzo të dyja anët me -2.

$$x=8$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$