Zgjidh {l}{x+2y=5900}{2x+2y=9400}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 5900 } \\ { 2 x + 2 y = 9400 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=3500$$

$$y=1200$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+2y=5900,2x+2y=9400$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+2y=5900$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-2y+5900$$

Zëvendëso x me -2y+5900 në ekuacionin tjetër, 2x+2y=9400.

$$2\left(-2y+5900\right)+2y=9400$$

Shumëzo 2 herë -2y+5900.

$$-4y+11800+2y=9400$$

Mblidh -4y me 2y.

$$-2y+11800=9400$$

Zbrit 11800 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2y=-2400$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=1200$$

Zëvendëso y me 1200 në x=-2y+5900. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2\times 1200+5900$$

Shumëzo -2 herë 1200.

$$x=-2400+5900$$

Mblidh 5900 me -2400.

$$x=3500$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3500,y=1200$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+2y=5900,2x+2y=9400$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 2}&-\frac{2}{2-2\times 2}\\-\frac{2}{2-2\times 2}&\frac{1}{2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5900+9400\\5900-\frac{1}{2}\times 9400\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3500\\1200\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=3500,y=1200$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+2y=5900,2x+2y=9400$$

Zbrit 2x+2y=9400 nga x+2y=5900 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-2x+2y-2y=5900-9400$$

Mblidh 2y me -2y. Shprehjet 2y dhe -2y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x-2x=5900-9400$$

Mblidh x me -2x.

$$-x=5900-9400$$

Mblidh 5900 me -9400.

$$-x=-3500$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=3500$$

Zëvendëso x me 3500 në 2x+2y=9400. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$2\times 3500+2y=9400$$

Shumëzo 2 herë 3500.

$$7000+2y=9400$$

Zbrit 7000 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=2400$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=1200$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3500,y=1200$$